Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ $ \lim_{x \to +\infty} x^{4}-2 x^{2} = +\infty $

$ \lim_{x \to -\infty} x^{4}-2 x^{2} = +\infty $ Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $+\infty$ y en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función. 3) Calculamos $f'(x)$: $ f'(x) = 4x^3 - 4x $ 4) Igualamos $f'(x)$ a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: $ 4x^3 - 4x = 0 $ Saco factor común $4x$ $ 4x(x^2 - 1) = 0 $ Obtenemos que los resultados son $x = 0$, $x = -1$ y $x = 1$. Estos son nuestros "puntos críticos". 5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces: a) $x < -1$ b) $-1 < x < 0$ c) $0 < x < 1$ d) $x > 1$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < -1$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. b) Para $-1 < x < 0$, $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. c) Para $0 < x < 1$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. d) Para $x > 1$ $f'(x)> 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: